Indice de Theil

On admet qu'une fonction convexe sur un intervalle  \(I\)  vérifie : pour tous réels  \(x \text { et } y\)  de  \(I\) , pour tout  \(\lambda\in[0;1]\) ,  \(f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)\leqslant\lambda f(x)+\left(1-\lambda\right)f(y)\) .

Pour mesurer les inégalités de répartition des salaires dans une entreprise, on peut utiliser l'indice de Theil défini par \(\displaystyle T=\dfrac{1}{n}{\sum_{i=1}^n}\dfrac{x_{i}}{\overline{x}}\ln\left(\dfrac{x_{i}}{\overline{x}}\right)\) , où \(x_1,x_2,...,x_n\)  sont les salaires des \(n\)  salariés de l'entreprise et \(\overline{x}\)  le salaire moyen.

1. Calculer \(T\)  si tous les salaires sont égaux.

2. Calculer \(T\)  s'il y a 5 salariés ayant pour salaires : 1 500 € ;  2 000 € ; 2 500 € ; 4 000 € ; 5 000 €.

3. On suppose dans cette question que \(n=2\) . On note \(x\)  et \(y\)  les deux salaires. L'objectif est de démontrer que \(T\geqslant0\) .
    a. Montrer que \(T=\dfrac{1}{2\overline{x}}\left(x\ln x+y\ln y-(x+y)\ln\overline{x}\right)\) .
    b. Montrer que la fonction \(\varphi:x\mapsto x\ln x\)  est convexe sur \(\mathbb R_+^*\) .
    c. En déduire que   \(T\geqslant0\) . On admettra que ce résultat reste valable pour tout entier naturel \(n\geqslant2\) .

4. Une entreprise emploie \(n\)  personnes. Les salariés ont le même salaire  \(S\)  sauf deux : l'un a un salaire égal à \(\left(1+x\right)S\)  et l'autre égal à \(\left(1-x\right)S\) , avec \(1.
   a. Calculer le salaire moyen.
   b. On note \(T(x)\)  l'indice de Theil. Exprimer \(T(x)\)  en fonction de \(n\)  et de \(x\) .
   c. Démontrer que, pour tout réel \(x\in]0;1[\) , \(T'(x)=\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\) .
    d. Déterminer les limites de la fonction \(T\)  en 0 et en 1.
    e. Dresser le tableau de variations de la fonction \(T\) .

Remarque

Plus l'écart entre le plus haut salaire \(\left(1+x\right)S\)  et le plus bas salaire \(\left(1-x\right)S\) augmente, plus l'indice de Theil augmente.